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【题目描述】 写一个函数，输入 n ，求斐波那契（Fibonacci）数列的第 n 项（即 F(N)）。斐波那契数列的定义如下：

F(0) = 0, F(1) = 1

F(N) = F(N - 1) + F(N - 2), 其中 N > 1.

斐波那契数列由 0 和 1 开始，之后的斐波那契数就是由之前的两数相加而得出。

注：答案需要取模 1e9+7（1000000007），如计算初始结果为：1000000008，请返回 1。

【思路1】

斐波那契数列的定义是 f(n + 1) = f(n) + f(n - 1) ，生成第 n 项的做法有以下几种：

1. 递归法：

   原理： 把 f(n) 问题的计算拆分成 f(n-1) 和 f(n-2) 两个子问题的计算，并递归，以 f(0) 和 f(1) 为终止条件。
   缺点： 大量重复的递归计算，例如 f(n) 和 f(n - 1)两者向下递归需要 各自计算 f(n - 2) 的值。
   

2. 动态规划：

   原理： 以斐波那契数列性质 f(n + 1) = f(n) + f(n - 1) 为转移方程。
   从计算效率、空间复杂度上看，动态规划是本题的最佳解法。

【动态规划的算法流程】

• 状态定义： 设 dp 为一维数组，其中 dp[i] 的值代表 斐波那契数列第 i 个数字 。
• 转移方程： dp[i + 1] = dp[i] + dp[i - 1] ，即对应数列定义 f(n + 1) = f(n) + f(n - 1) ；
• 初始状态： dp[0] = 0, dp[1] = 1 ，即初始化前两个数字；
• 返回值： dp[n] ，即斐波那契数列的第 n 个数字。
  

class Solution:    def fib(self, n: int) -> int:        # 第1项 0        # 第2项 1        # 第3项 0+1 1        # 第4项 1 1 2        a,b=0,1        for _ in range(n):            a,b = b,a+b        return a%1000000007

• 时间复杂度O(n)， 计算 f(n) 需循环 n 次，每轮循环内计算操作使用 O(1)；
• 空间复杂度O(1)， 几个标志变量使用常数大小的额外空间。

【思路2】

用数组记录 斐波那契数列的值

class Solution:    def fib(self, n: int) -> int:        dp = [0, 1]        for i in range(2, n + 1):            dp.append(dp[i - 1] + dp[i - 2])        return dp[n] % 1000000007'''作者：edelweisskoko链接：https://leetcode-cn.com/problems/fei-bo-na-qi-shu-lie-lcof/solution/jian-zhi-offer-10-i-fei-bo-na-qi-shu-lie-2vdf/'''

时间复杂度O(n)；空间复杂度O(n)

最后再来看 循环求余法：

大数越界： 随着 n 增大, f(n) 会超过 Int32 甚至 Int64 的取值范围，导致最终的返回值错误。

求余运算规则： 设正整数 x, y, p，求余符号为 ⊙ ，则有 (x+y)⊙p=(x⊙p+y⊙p)⊙p 。

解析： 根据以上规则，可推出 f(n)⊙p=[f(n−1)⊙p+f(n−2)⊙p]⊙p ，从而可以在循环过程中每次计算 sum=(a+b)⊙1000000007 ，此操作与最终返回前取余等价。

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